Aufgabe 36

> [Maple Math]

Umformen von [Maple Math] liefert eine quadratische Gleichung:

> [Maple Math]

[Maple Math]

> [Maple Math]

[Maple Math]

Mittels quadratischer Ergänzung findet man leicht die Lösungen [Maple Math] . Für einen Startwert [Maple Math] wollen wir die [Maple Math] -te Iteration [Maple Math] berechnen.

> [Maple Math]

Wir testen das ganze mit dem recht zufälligen Startwert 1234 und ermitteln die erste, zweite und dritte Iteration:

> [Maple Math]

[Maple Math]

Das bringt uns auf die Idee, folgendes zu probieren:

> [Maple Math]

[Maple Math]

Also offenbar [Maple Math] . Damit springt die Iteration immer zwischen [Maple Math] und [Maple Math] hin und her. Einzige Startpunkte mit Konvergenz sind also solche Punkte, bei denen diese beiden Werte übereinstimmen: Fixpunkte.

Aufgabe 37

Zum Selbststudium: vgl. z.B. Graf Fink von Finckenstein, Einführung in die Numerische Mathematik, Band 1, S. 28 f.

Aufgabe 38

Auf dem betrachteten Intervall [Maple Math] ist ein Fixpunkt von [Maple Math] zu suchen. Die Ableitung lautet [Maple Math] , sie ist also auf [Maple Math] positiv (g monoton steigend!) und betraglich kleiner als [Maple Math] . Letztere Zahl ist auf [Maple Math] damit eine L-Konstante. Da [Maple Math] und [Maple Math] ist, bildet g als monotone Funktion das Intervall [Maple Math] auf sich ab. Der Fixpunktsatz von Banach sichert damit die Existenz und Eindeutigkeit eines Fixpunktes auf [Maple Math] und liefert eine Abschätzung des Fixpunkts von der [Maple Math] -ten Iteration: Die Abweichung beträgt nach 16.2.4 nicht mehr als

> [Maple Math]

[Maple Math]

Soll dieser Term gleich [Maple Math] sein, so erhält man für [Maple Math]

> [Maple Math]

[Maple Math]

Damit sollte die 9.Iteration einen genügend guten Wert liefern. Dies prüfen wir nun nach:

> [Maple Math]
[Maple Math]

> [Maple Math]

Iteration 1:    .1440636591

Iteration 2:    .1381734275

Iteration 3:    .1379439130

Iteration 4:    .1379351714

Iteration 5:    .1379348388

Iteration 6:    .1379348261

Iteration 7:    .1379348256

Iteration 8:    .1379348256

Iteration 9:    .1379348256

Tatsächlich hätte bereits die 5. Iteration ausgereicht.

Aufgabe 39

Ein Punkt [Maple Math] auf der Fläche hat die Koordinaten

> [Maple Math]

Der Abstand von [Maple Math] zu [Maple Math] beträgt damit

> [Maple Math]

>

Eine nicht negative Funktion wird genau dann minimal, wenn ihr Quadrat minimal wird. Daher untersuchen wir im weiteren lieber

> [Maple Math]

[Maple Math]

> [Maple Math]

[Maple Math]

Der Gradient hiervon lautet

> [Maple Math]

Warning, new definition for norm

Warning, new definition for trace

[Maple Math]

Er wird 0 für

> [Maple Math]

[Maple Math]

Wir prüfen kurz die hinreichende Bedingung:

> [Maple Math]

[Maple Math]

Offenbar ist die Matrix nach Hurwitz positiv definit. Damit ist [1,6] ein lokales Minimum. Tatsächlich ist es auch ein absolutes Minimum. Das liegt, daran, daß stets ein solches absolutes Minimum existieren muß, wenn man den Abstand zwischen einer abgeschlossenen Menge (hier der Fläche) und einer kompakten Menge (hier dem Punkt [Maple Math] ) betrachtet (o.D.). Bekanntlich spannen die partiellen Ableitungen [Maple Math] und [Maple Math] der Flächenparametrisierung

> [Maple Math]

in [Maple Math] die Tangentialebene in [Maple Math] auf. Wir haben also nur zu prüfen, daß diese für [Maple Math] senkrecht sind auf der Verbindung zwischen [Maple Math] und [Maple Math] :

> [Maple Math]

[Maple Math]

> [Maple Math]

[Maple Math]

> [Maple Math]

[Maple Math]

> [Maple Math]

[Maple Math]

> [Maple Math]

[Maple Math]

Man beachte, daß innerprod gerade das (innere) Skalarprodukt zweier vektorieller Einsetzungen liefert.

Aufgabe 40

Zurücksetzen der Variablen [Maple Math]

> [Maple Math]

> [Maple Math]

[Maple Math]

> [Maple Math]

[Maple Math]

> [Maple Math]

[Maple Math]

> [Maple Math]

[Maple Math]

> [Maple Math]

[Maple Math]

Also gilt [Maple Math] .