Die Vorlesung besteht aus zwei voneinander unabhängigen Teilen, die jeweils zweistündig durchlaufend gelesen werden.
Im ersten Teil (mittwochs, D.H.) wird zunächst die Theorie der zentralen einfachen Algebren entwickelt. Dies sind assoziative Ringe, die einen
Körper K enthalten, sodass sie, wenn man sie als Vektorraum über K betrachtet, endlich dimensional sind, deren Zentrum genau K ist, und die keine nicht-trivialen zweiseitigen Ideale besitzen. Typische Beispiele sind die n x n Matrizen über einem Körper K und Quaternionenalgebren. Wir
beweisen den Struktursatz von Wedderburn, der im Wesentlichen sagt, dass jede zentrale einfache Algebra ein Matrizenring über einem Schiefkörper ist. Wir führen den Begriff der Brauergruppe eines Körpers ein und bestimmen die Brauergruppen in einigen einfachen Fällen. Aufbauend darauf definieren wir dann Cliffordalgebren von quadratischen Formen über Körpern und bestimmen deren Struktur. Als Anwendung formulieren wir den Satz von Merkurjev, den wir aber im Rahmen dieser Vorlesung nicht beweisen können.
Im zweiten Teil der Vorlesung (donnerstags, R.S.) soll die Arithmetische Theorie der Quadratischen Formen über Q und Z behandelt werden. Zahlentheoretisch gesehen ist also das Thema die Lösung von quadratischen diophantischen Gleichungen und die Bestimmung der Aquivalenzklassen von ``Z-Moduln mit quadratischer Form`` (kurz: ``Gitter``). In der ersten Hälfte des Semesters wird die Theorie der quadratischen Formen über den ganzen p-adischen Zahlen behandelt, die zum Begriff des ``Geschlechtes`` eines Gitters führt; später wird dann die sogenannte Maßformel von Minkowski und Siegel vorgestellt und bewiesen. Es handelt sich dabei um eines der klassischen Highlights der Theorie, das jedoch in Vorlesungen meistens nicht mehr behandelt wird.
Vorbereitung von Diplom- oder Masterarbeiten, ggf. auch einer Dissertation
mündliche Prüfung