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Empfohlene Literatur


Spezialvorlesung

Nichtlineare Analysis

Nummer
011334, SS15
Dozentinnen und Dozenten
Veranstaltungstyp
Spezialvorlesung, 2+1
Ort und Zeit
M/611 Mo 16:00 2h
Modul-Zugehörigkeit (ohne Gewähr)
DPL:B:-:2 – Mathematik, Diplom (auslaufend)
MAMA:-:6:MAT-602 – Nichtlineare Analysis
WIMAMA:-:6:MAT-602 – Nichtlineare Analysis
TMAMA:-:6:MAT-602 – Nichtlineare Analysis
DPL:E:-:- – Mathematik, Promotionsstudiengang
Beginn der Veranstaltung
9.4. um 12:15
Erforderliche Voraussetzungen
Analysis I-III, Lineare Algebra I-II
Inhalt

Das Ziel dieser Vorlesung ist die Analysis von Funktionen und Gleichungen in unendlichdimensionalen Räumen, typischerweise Banachräumen. Dies hat eine große angewandte Relevanz, da z.B. die Lösungen von Differentialgleichungen und Integralgleichungen in Banachräumen liegen.

Viele Gleichungen können als Fixpunktprobleme geschrieben werden, deswegen werden Fixpunktsätze eine wichtige Rolle spielen. Neben dem schon bekannten Banachschen Fixpunktsatz für Kontraktionen besprechen wir den Brouwerschen und den Schauderschen Satz für stetige Selbstabbildungen von kompakten, konvexen Mengen. Globale Information über die Lösungsstruktur von Gleichungen in Banachräumen kann mit Hilfe des Leray-Schauderschen Abbildungsgrades bekommen werden.

Ein weiteres Thema sind Fredholmoperatoren und die Lyapunov-Schmidt-Reduktion, die es erlaubt ein unendlich dimensionales Problem zu einem endlich dimensionalen zu reduzieren. Dies findet Anwendungen in der Verzweigungstheorie.

Die wichtigsten Themen sind:
1) Ableitung und Integration in Banachräumen
2) Sätze über die implizite und die inverse Funktion
3) Fixpunktsätze: Banach, Brouwer, Schauder
4) Leray-Schauderscher Abbildungsgrad
5) Fredholmoperatoren; Lyapunov-Schmidt-Reduktion

Bemerkungen

Die erste Vorlesung findet in der Übungsstunde am 9.4. um 12:15 im Raum 1011 statt. Für weitere Wochen kann die Übung nach Bedarf verschoben werden.

Empfohlene Literatur
  • 1) B. Schweizer, Nichtlineare Analysis, Vorlesungsskript, TU Dortmund, 2010.
  • 2) P. Drabek, J. Milota, Methods of Nonlinear Analysis: Applications to Differential Equations, Springer, 2013.
  • 3) P. Drabek, J. Milota, Lectures on Nonlinear Analysis, Plzen: Vydavatelsky servis, 2004.
  • 4) K.Ch. Chang, Methods in Nonlinear Analysis, Springer, 2005.
  • Referenzen 1 und 2 sollten völlig ausreichen.

Übungen

Nummer der Übung
011335
Übungsgruppen
M/E19 Di 12:00 2h