Auf dem Gebiet der Approximationstheorie entwickelt die Arbeitsgruppe von Prof. Joachim Stöckler und Dr. Maria Charina-Kehrein neue Methoden des Computer Aided Geometric Design und der Wavelet-Analyse. Zur computergestützten Visualisierung von Oberflächen werden im Computer Aided Geometric Design Netze von vielen Tausend oder sogar Millionen Drei- und Vierecken verwendet. Ein Forschungsschwerpunkt besteht darin, aus sehr groben Dreiecks- und Vierecksnetzen, die noch sehr viele sichtbare Kanten und Ecken enthalten und die nur die grobe Geometrie der Fläche veranschaulichen, durch voll-automatische Verfeinerungsmethoden nahezu glatte Oberflächen zu erzeugen, die das gewünschte Objekt nahezu exakt beschreiben. Die hierauf aufbauende mathematische Analyse beantwortet z.B. die Frage, wie glatt (im Sinne der Differentialgeometrie) diese Flächen tatsächlich sind, wenn man die Verfeinerung ad infinitum durchführt. Insbesondere in Zonen hoher geometrischer Komplexität (wie z.B. Gesichtspartien im Bereich der Augen) kommt man aber mit einer reinen Verfeinerungsstrategie nicht aus. Hier werden seit wenigen Jahren neue Verfahren eingesetzt, die die Generierung zusätzlicher geometrischer Informationen zulassen ("mesh editing"). Solche Verfahren werden am Lehrstuhl VIII als Teilgebiet der Wavelet-Analysis aktuell entwickelt. Hierzu erschienen im Jahr 2007 zwei Veröffentlichungen. Auf dem Gebiet des Computer Aided Geometric Design entstand 2007 die Dissertation von Ilijas Selimovic mit dem Titel „Beiträge zu globalen Fragen in der NURBS-Technik“.
Eine weitere praktische Bedeutung erlangt die Wavelet-Analyse beim "Image inpainting". Ziel ist es, zerstörte Bereiche von Bilddaten, die z.B. durch das Alter eines Fotos oder durch den Aufdruck von Texten verloren gingen, aus der Kenntnis der verbliebenen Daten zu rekonstruieren. Andere Anwendungen behandeln die Entfernung unerwünschter Objekte in einem Bild, um die Szenenwiedergabe zu verbessern. Eine Kombination der Wavelet-Analyse der verbliebenen Bilddaten und der Lösung von Randwertproblemen zum Ausfüllen der Löcher wird derzeit intensiv untersucht.
Im Dissertationsprojekt "Construction of Hilbert-transform pairs of MRA tight frames and its application" von Kyoung-Yong Lee im Jahr 2007 wurden neue Methoden der Wavelet-Analyse eingesetzt, um aus den Daten einer Röntgenaufnahme Bilder mit höherer Präzision zu erzeugen. Die numerischen Experimente stehen gerade am Anfang und werden in einer weiteren Diplomarbeit vertieft.
Im Forschungsbereich "Numerisches/symbolisches Rechnen", der von Prof. H. M. Möller geleitet wird, geht es hauptsächlich um Polynome in mehreren Veränder- lichen. Einen Schwerpunkt der Forschung stellen die Gröbnerbasen für multivariate (Laurent-) Polynomringe dar. Dabei werden konstruktive Verfahren entwickelt, die auch in der Signalverarbeitung gebraucht werden. Eine Dissertation von Christian Scholz ging aus diesem Projekt hervor. Ein weiteres Forschungsgebiet ist die Positivität von multivariaten Polynomen. Hier werden schnelle konstruktive Verfahren gesucht, mit denen man entscheiden kann, ob eine von Parametern (polynomial) abhängige Größe kleiner als eine zweite ist. Anwendungen für diese elementare und schwierige Fra- gestellung sind z.B. in der Optimierung, in der reellen Algebra und in der Computeralgebra. Die Konstruktion von Kubaturformeln mit Hilfe von orthogonalen Polynomen stellt ebenfalls einen Schwerpunkt in der Forschung dar. Hier sind in absehbarer Zeit einige Diplomarbeiten zu erwarten.
Zusammen mit Kollegen anderer Universitäten organisiert der Lehrstuhl im Abstand von 3 Jahren eine inter- nationale Fachtagung zur Multivariaten Approximation mit ca. 50 Teilnehmern aus aller Welt. Hierzu treffen wir uns für eine Woche im Herbst im Haus Bommerholz, dem Universitätskolleg der TU Dortmund.